Gesetz der grossen Zahlen
Das Gesetz der grossen Zahlen besagt, dass sich bei vielen unabhängigen Wiederholungen eines Zufallsexperiments der Durchschnitt der Ergebnisse dem Erwartungswert annähert. Für das Casino heisst das: Je mehr Runden gespielt werden, desto genauer trifft das Gesamtergebnis den eingebauten Hausvorteil. Für einzelne Spielende bedeutet es wenig Trost, denn das Gesetz spricht über Mittelwerte und nie über die nächste Kugel. Genau diese Verwechslung kostet am Tisch am meisten Geld.
Was das Gesetz mathematisch aussagt
Mathematisch betrachtet man eine Folge unabhängiger, gleich verteilter Zufallsgrössen X1, X2,… mit dem Erwartungswert μ. Der Mittelwert Sn = (X1 +… + Xn) / n strebt mit wachsendem n gegen μ.
Das schwache Gesetz sagt, dass grosse Abweichungen vom Erwartungswert immer unwahrscheinlicher werden. Das starke Gesetz geht weiter und hält fest, dass die Mittelwerte mit Wahrscheinlichkeit 1 gegen μ konvergieren. Für Spielende reicht die einfache Lesart: Die relative Häufigkeit k/n eines Ergebnisses pendelt sich bei seiner Wahrscheinlichkeit ein.
Ein Rechenbeispiel am Roulettetisch
Beim europäischen Roulette mit 37 Fächern gewinnt eine Wette auf Rot mit der Wahrscheinlichkeit 18/37, also rund 48,65 %. Der Erwartungswert pro Franken Einsatz beträgt 18/37 × (+1) + 19/37 × (-1) = -1/37, das sind -2,70 %. Wer 100 Runden zu je CHF 10 setzt, verliert im Erwartungswert CHF 27, doch die Standardabweichung des Ergebnisses liegt bei rund CHF 100. Nach 10’000 Runden wächst der erwartete Verlust auf CHF 2’700, die Streuung aber nur auf rund CHF 1’000, gemessen am Umsatz schrumpft sie also von 10 % auf 1 %.
Das ist der Kern.
Die Zufälligkeit verschwindet nicht, sie wird im Verhältnis zur Rundenzahl immer kleiner, während der Hausvorteil linear mitwächst.
Spielerfehlschluss: die häufigste Verwechslung
Der Spielerfehlschluss, englisch Gambler’s Fallacy, ist der Glaube, ein lange ausgebliebenes Ergebnis werde nun wahrscheinlicher. Nach acht Mal Rot sei Schwarz «fällig», heisst es dann am Tisch.
Das Gesetz der grossen Zahlen stützt diese Idee gerade nicht. Ein korrekt gebautes Rouletterad hat kein Gedächtnis, und jede neue Runde bietet wieder genau 18/37 für Rot wie für Schwarz. Eine Serie wird über die Zeit nicht ausgeglichen, sondern durch Tausende weitere Runden verdünnt, bis sie im Durchschnitt kaum mehr auffällt. Die absolute Differenz zwischen Rot und Schwarz kann dabei sogar wachsen, obwohl die relative Häufigkeit sich 48,65 % nähert.
Wer daraus ein Einsatzsystem baut, wettet auf eine Korrektur, die es nicht gibt.
Gesetz der grossen Zahlen gegen Spielerfehlschluss
Beide Ideen berufen sich auf lange Serien, kommen aber zu entgegengesetzten Schlüssen. Die Gegenüberstellung zeigt, wo die Mathematik steht und wo der Irrtum beginnt.
Gesetz der grossen Zahlen | Spielerfehlschluss |
|---|---|
| Aussage über den Durchschnitt vieler Runden | Aussage über die nächste einzelne Runde |
| Nach acht Mal Rot bleibt Schwarz bei 18/37 | Nach acht Mal Rot sei Schwarz «fällig» |
| Serien werden verdünnt, nicht korrigiert | Serien werden aktiv ausgeglichen |
| Rot erscheint langfristig in rund 48,65 % der Runden | Rot erscheint langfristig in rund 48,65 % der Runden |
| Kein Einsatzsystem ändert den Erwartungswert | Verdoppeln nach Verlust hole alles zurück |
Wo Spielende dem Gesetz begegnen
Im Online-Casino begegnet das Gesetz Ihnen meist als RTP. Ein Slot mit einem ausgewiesenen RTP von 96 % zahlt diesen Anteil nicht pro Sitzung aus, sondern im Mittel über eine sehr grosse Zahl von Spins. Je höher die Volatilität eines Spiels, desto länger dauert es, bis das eigene Ergebnis in die Nähe dieses Wertes kommt. Wie und wo Anbieter den RTP angeben, unterscheidet sich von Haus zu Haus, eine einheitliche Darstellung gibt es nicht.
Bei Sportwetten wirkt das Gesetz über die Buchmachermarge. Bietet ein Anbieter auf einen ausgeglichenen Zweiweg-Markt beidseitig die Quote 1,90, ergibt sich 1/1,90 + 1/1,90 = 1,0526, also eine Marge von rund 5,3 %. Eine einzelne Wette kann diese Marge locker überdecken, über Hunderte Wetten aber setzt sie sich durch, und auch das oft beworbene «Value» ändert an dieser Rechnung für die meisten Tippenden nichts. Tipps auf Spiele oder Resultate gibt es hier deshalb ausdrücklich keine.
Beim Bonus wird es konkret.
Wagering-Bedingungen verlangen Umsatz, und Umsatz ist genau die Grösse, über die der Hausvorteil wirkt. Wer CHF 1’000 Bonusumsatz am europäischen Roulette spielt, verliert im Erwartungswert CHF 27, und mit jeder weiteren Umsatzrunde gleicht sich das Ergebnis diesem Wert stärker an.
